Mi a szabályos háromszög alakú piramis apotémája. Mi a sokszög és a piramis apotémája? Szabályos négyszögletű piramis apotémje. A piramis magassága alapjának tulajdonsága

A piramis egy térbeli poliéder vagy poliéder, amely geometriai feladatokban található. Ennek az ábrának a fő tulajdonságai a térfogata és a felülete, amelyeket bármely két lineáris jellemző ismeretéből számítanak ki. Az egyik ilyen jellemző a piramis apotémája. A cikkben lesz szó róla.

Piramis figura

Mielőtt megadnánk a piramis apotémjének meghatározását, ismerkedjünk meg magával az ábrával. A piramis egy poliéder, amelyet egy n-szögű alap és n háromszög alkot, amelyek az ábra oldalfelületét alkotják.

Minden piramisnak van egy csúcsa – az összes háromszög kapcsolódási pontja. Az ebből a csúcsból az alapra húzott merőlegest magasságnak nevezzük. Ha a magasság metszi az alapot a geometriai középpontban, akkor az ábrát egyenesnek nevezzük. Az egyenlő oldalú alappal rendelkező egyenes piramist szabályosnak nevezzük. Az ábrán egy hatszögletű alappal rendelkező gúla látható oldalról és élekről nézve.

Egy szabályos piramis apotémája

Apotémának is nevezik. A piramis tetejétől az ábra alapjának oldaláig húzott merőleges értendő. Definíciója szerint ez a merőleges a gúla oldallapját képező háromszög magasságának felel meg.

Mivel egy n-szögű alappal rendelkező szabályos piramisról van szó, akkor ennek mind az n apotémája azonos lesz, mivel ezek az ábra oldalfelületének egyenlő szárú háromszögei. Vegyük észre, hogy az azonos apotémek egy szabályos piramis tulajdonsága. Egy általános típusú (ferde, szabálytalan n-szögű) alaknál minden n apotém más lesz.

A szabályos gúla apotémjének másik tulajdonsága, hogy egyidejűleg a megfelelő háromszög magassága, mediánja és felezője. Ez azt jelenti, hogy két azonos derékszögű háromszögre osztja.

és apotemének meghatározására szolgáló képletek

Minden szabályos gúla esetében a fontos lineáris jellemzők az alapja oldalának hossza, a b oldalél, a h magasság és a h b apotém. Ezeket a mennyiségeket a megfelelő képletekkel viszonyítjuk egymáshoz, amelyeket egy gúla rajzolásával és a szükséges derékszögű háromszögek figyelembevételével kaphatunk.

Egy szabályos háromszög alakú gúla 4 háromszöglapból áll, és ezek közül az egyiknek (az alapnak) egyenlő oldalúnak kell lennie. A többi általános esetben egyenlő szárú. A háromszög alakú piramis apotémája más mennyiségekkel is meghatározható a következő képletekkel:

h b = √(b 2 - a 2 /4);

h b = √(a 2 /12 + h 2)

Ezen kifejezések közül az első igaz bármely szabályos alappal rendelkező piramisra. A második kifejezés kizárólag egy háromszög alakú piramisra jellemző. Azt mutatja, hogy az apotém mindig nagyobb, mint az ábra magassága.

A piramis apotémáját nem szabad összetéveszteni egy poliéderével. Ez utóbbi esetben az apotém egy merőleges szakasz, amelyet a poliéder középpontjától az oldalára húzunk. Például egy egyenlő oldalú háromszög apotémája √3/6*a.

Apothem számítási probléma

Adjunk meg egy szabályos piramist, amelynek alapja háromszög. Ki kell számítani annak apotémjét, ha ismert, hogy ennek a háromszögnek a területe 34 cm 2, és maga a piramis 4 azonos lapból áll.

A feladat feltételeinek megfelelően egyenlő oldalú háromszögekből álló tetraéderrel van dolgunk. Az egyik arc területének képlete a következő:

Honnan kapjuk az a oldal hosszát:

A h b apotém meghatározásához a b oldalélt tartalmazó képletet használjuk. A vizsgált esetben hossza megegyezik az alap hosszával, van:

h b = √(b 2 - a 2 /4) = √3/2*a

Az a-tól S-ig behelyettesítve a végső képletet kapjuk:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Kaptunk egy egyszerű képletet, amelyben a piramis apotémája csak az alapterületétől függ. Ha a feladatfeltételek közül az S értékét behelyettesítjük, azt a választ kapjuk: h b ≈ 7,674 cm.

Meghatározás. Oldalsó él- ez egy háromszög, amelyben az egyik szög a piramis tetején fekszik, és a szemközti oldal egybeesik az alap (sokszög) oldalával.

Meghatározás. Oldalsó bordák- ezek az oldallapok közös oldalai. A piramisnak annyi éle van, mint egy sokszög szögeinek.

Meghatározás. Piramis magassága- ez egy merőleges, amely a piramis tetejétől az aljáig süllyeszthető.

Meghatározás. Apothem- ez a piramis oldallapjára merőleges, a gúla tetejétől az alap oldaláig leengedve.

Meghatározás. Átlós szakasz- ez a piramis egy szakasza, amelyet a gúla tetején és az alap átlóján átmenő sík alkot.

Meghatározás. Helyes piramis egy piramis, amelyben az alap egy szabályos sokszög, és a magassága az alap közepéig csökken.

A piramis térfogata és felülete

Képlet. A piramis térfogata alapterületen és magasságon keresztül:

A piramis tulajdonságai

Ha minden oldalél egyenlő, akkor a piramis alapja köré kör rajzolható, és az alap középpontja egybeesik a kör középpontjával. Ezenkívül egy felülről leejtett merőleges áthalad az alap (kör) közepén.

Ha minden oldalél egyenlő, akkor ugyanolyan szögben dőlnek az alap síkjához.

Az oldalélek akkor egyenlőek, ha egyenlő szöget zárnak be az alap síkjával, vagy ha kör írható le a piramis alapja körül.

Ha az oldallapok ugyanabban a szögben hajlanak az alap síkjához, akkor a gúla alapjába kör írható, és a gúla teteje a középpontjába vetül.

Ha az oldallapok azonos szögben dőlnek az alap síkjához, akkor az oldallapok apotémái egyenlőek.

Szabályos piramis tulajdonságai

1. A piramis teteje egyenlő távolságra van az alap minden sarkától.

2. Minden oldalél egyenlő.

3. Minden oldalborda egyenlő szögben dől az alaphoz képest.

4. Az összes oldallap apotémája egyenlő.

5. Az összes oldalfelület területe egyenlő.

6. Minden lapnak azonos kétszögű (lapos) szöge van.

7. A piramis körül egy gömb írható le. A körülírt gömb középpontja az élek közepén átmenő merőlegesek metszéspontja lesz.

8. Egy gömböt illeszthetsz egy piramisba. A beírt gömb középpontja az él és az alap közötti szögből kiinduló felezők metszéspontja lesz.

9. Ha a beírt gömb középpontja egybeesik a körülírt gömb középpontjával, akkor a csúcsban lévő síkszögek összege egyenlő π-vel vagy fordítva, egy szög egyenlő π/n-nel, ahol n a szám szögek a piramis alján.

A piramis és a gömb kapcsolata

Egy gömb akkor írható le a piramis körül, ha a piramis alján van egy poliéder, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja a piramis oldaléleinek felezőpontjain át merőlegesen átmenő síkok metszéspontja lesz.

Mindig leírható egy gömb bármely háromszög alakú vagy szabályos piramis körül.

Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai egy pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.

Piramis és kúp kapcsolata

A kúpról azt mondjuk, hogy be van írva a piramisba, ha a csúcsuk egybeesik, és a kúp alapja a gúla alapjába van írva.

Kúp akkor írható a piramisba, ha a piramis apotémjei egyenlőek egymással.

A kúpról azt mondjuk, hogy körül van írva egy gúla, ha csúcsai egybeesnek, és a kúp alapja a gúla alapja körül van körülírva.

A gúla körül kúp írható le, ha a gúla minden oldaléle egyenlő egymással.

A piramis és a henger kapcsolata

A gúlát hengerbe írtnak nevezzük, ha a piramis teteje a henger egyik alján, a piramis alapja pedig a henger másik alján található.

Egy piramis körül henger írható le, ha a piramis alapja körül kör írható le.

A tetraédernek négy lapja és négy csúcsa és hat éle van, ahol bármelyik két élnek nincs közös csúcsa, de nem érintkeznek.

Minden csúcs három lapból és élből áll háromszög szög.

A tetraéder csúcsát a szemközti lap középpontjával összekötő szakaszt ún a tetraéder mediánja(GM).

Bimedian az egymással nem érintkező élek felezőpontjait összekötő szakasznak nevezzük (KL).

A tetraéder minden bimediánja és mediánja egy pontban (S) metszi egymást. Ebben az esetben a bimediánokat kettéosztjuk, a mediánokat pedig felülről indulva 3:1 arányban.

Meghatározás. Hegyesszögű piramis- olyan piramis, amelyben az apotém az alap oldalhosszának több mint fele.

Meghatározás. Tompa piramis- olyan piramis, amelyben az apotém kisebb, mint az alap oldalhosszának fele.

Meghatározás. Szabályos tetraéder- egy tetraéder, amelyben mind a négy lap egyenlő oldalú háromszög. Ez az öt szabályos sokszög egyike. Egy szabályos tetraéderben minden diéderszög (a lapok között) és háromszögszög (a csúcsban) egyenlő.

Meghatározás. Téglalap alakú tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a csúcson három él között derékszög van (az élek merőlegesek). Három arc alakul ki téglalap alakú háromszög szögés a lapok derékszögű háromszögek, az alap pedig egy tetszőleges háromszög. Bármely arc apotémája megegyezik az alap oldalának felével, amelyre az apotém esik.

Meghatározás. Izoéderes tetraéder tetraédernek nevezzük, amelynek oldallapjai egyenlőek egymással, alapja pedig szabályos háromszög. Egy ilyen tetraédernek olyan lapjai vannak, amelyek egyenlő szárú háromszögek.

Meghatározás. Ortocentrikus tetraéder tetraédernek nevezzük, amelyben a felülről a szemközti lapra süllyesztett összes magasság (merőleges) egy pontban metszi egymást.

Meghatározás. Csillag piramis poliédernek nevezzük, amelynek alapja egy csillag.

Az elméleti anyagokat és képleteket lásd a "Helyes piramis" című fejezetben.

Feladat

Megoldás.

Mivel a piramis szabályos, vegye figyelembe a következőket:

• A piramis magasságát az alap közepére vetítjük
• A feladat szerint egy szabályos gúla alapjának középpontja egy egyenlő oldalú háromszög
• Egy egyenlő oldalú háromszög középpontja egy beírt és egy körülírt kör középpontja is.
• A piramis magassága derékszöget zár be az alap síkjával

Mivel egy szabályos gúla apotémája a gúla magasságával együtt derékszögű háromszöget alkot, ezért a magasság meghatározásához a szinusztételt használjuk. Ezen kívül vegyük figyelembe:

• A vizsgált derékszögű háromszög első szára a tengerszint feletti magasság, a második szár a beírt kör sugara (szabályos háromszögben a középpont egyszerre a beírt és körülírt kör középpontja), a hipotenusz a kör apotémája. piramis
• A derékszögű háromszög harmadik szöge 30 fokkal egyenlő (a háromszög szögeinek összege 180 fok, a 60 fokos szöget feltétel adja, a második szög a piramis tulajdonságainak megfelelő egyenes, a harmadik 180-90-60 = 30)
• 30 fok szinusza egyenlő 1/2-vel
• 60 fok szinusza egyenlő a három gyökével a felében
• a 90 fok szinusza 1

A piramis alján egy szabályos háromszög található, amelynek területe a következő képlettel kereshető:
S szabályos háromszög = 3√3 r 2.
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Most nézzük meg a piramis térfogatát:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V = 24 cm3.

Válasz: 24 cm 3 .

Feladat

Megoldás .

Mivel a piramis szabályos, az alján egy szabályos négyszög - egy négyzet - található. Ezenkívül a piramis magasságát a tér közepére vetítik. Így egy derékszögű háromszög szára, amelyet a gúla apotémje, magassága és az őket összekötő szakasz alkot, megegyezik egy szabályos négyszög alakú gúla alaphosszának felével.

Ahol a Pitagorasz-tétel szerint az apotém hosszát megtaláljuk az egyenletből:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

Válasz: 25 cm

Apothem apothem

(a görög apotíthēmi szóból - félretenni), 1) egy merőleges szakasza (valamint annak hossza) A, egy szabályos sokszög közepéről annak bármelyik oldalára ejtve. 2) Egy szabályos piramisban az apotém a magasság A oldalsó él.

APOTHEMA (görögül apothemа – valami elhalasztott),
1) egy a merőleges szakasza (valamint annak hossza), amely egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára esik.
2) Egy szabályos piramisban az apotém az oldallap magassága.

enciklopédikus szótár. 2009 .

Nézze meg, mi az „apotém” más szótárakban:

Lásd: APOTEMA. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, lásd APOTHEMA. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Pavlenkov F., 1907... Orosz nyelv idegen szavak szótára

- (az általam félretett görög apotitémiből) ..1) egy a merőleges szakasza (valamint annak hossza), a szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve2)] Szabályos piramisban az apotém az oldallap magassága... Nagy enciklopédikus szótár

Főnév, szinonimák száma: 3 apotém (2) hossza (10) merőleges (4) Szótár ... Szinonima szótár

APOTHEM- (1) a szabályos sokszög köré körülírt kör középpontjától annak bármely oldaláig húzott merőleges hossza; (2) egy szabályos gúla oldallapjának magassága; (3) a trapéz magassága, amely egy szabályos csonka... ... Nagy Politechnikai Enciklopédia

- (az általam félretett görög apotithçmi-ből) 1) a merőleges hossza egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára (1. ábra); 2) szabályos gúlában A. oldallapjának a magassága (2. ábra). Rizs. 1-től…… Nagy Szovjet Enciklopédia

- (az általam félretett görög apotfthemi-ből) 1) egy a merőleges szakasza (valamint annak hossza), egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve. 2) Egy szabályos gúlában A. az oldallap a magassága (lásd az ábrát). Az Art. Apothem... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

Egy szabályos sokszög középpontjától az egyik oldaláig húzott merőleges hossza; Az apotém egyenlő az adott sokszögbe írt kör sugarával. A.-t a kúp ferde oldalának is nevezték... Enciklopédiai szótár F.A. Brockhaus és I.A. Efron

- (az általam félretett görög apotithemiből), 1) egy a merőleges szakasza (valamint annak hossza), egy szabályos sokszög középpontjából annak bármelyik oldalára leeresztve. 2) Szabályos gúlában A. oldallap a magassága... Természettudomány. enciklopédikus szótár

Apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem

• apotém- egy szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a csúcsából húzunk (továbbá az apotém a merőleges hossza, amely a szabályos sokszög közepétől az egyik oldalára süllyeszthető);
• oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - háromszögek, amelyek a csúcsban találkoznak;
• oldalsó bordák ( MINT , B.S. , C.S. , D.S. ) — az oldallapok közös oldalai;
• a piramis teteje (t. S) - az oldalbordákat összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
• magasság ( ÍGY ) - a piramis tetején keresztül az alap síkjához húzott merőleges szakasz (egy ilyen szakasz vége a gúla teteje és a merőleges alapja lesz);
• a piramis átlós metszete- a piramis egy szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
• bázis (ABCD) - sokszög, amely nem tartozik a piramis csúcsához.

A piramis tulajdonságai.

1. Ha az összes oldalsó él azonos méretű, akkor:

• könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
• az oldalbordák az alap síkjával egyenlő szöget zárnak be;
• Ráadásul ennek az ellenkezője is igaz, pl. ha az oldalsó bordák egyenlő szöget zárnak be az alap síkjával, vagy ha egy kör írható le a piramis alapja körül, és a gúla teteje ennek a körnek a középpontjába kerül, ez azt jelenti, hogy az összes oldalél a piramis azonos méretűek.

2. Ha az oldallapok dőlésszöge az alap síkjához képest azonos értékű, akkor:

• könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, és a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
• az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
• az oldalfelület területe egyenlő az alap kerületének és az oldalfelület magasságának szorzatával.

3. A gúla körül gömb írható le, ha a gúla alján van egy sokszög, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek közepén. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.

4. Gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső diéderszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.

A legegyszerűbb piramis.

A szögek száma alapján a piramis alapja háromszögre, négyszögre stb.

Piramis lesz háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja egy háromszög, egy négyszög stb. A háromszög alakú piramis egy tetraéder - egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.