Каква апотема за правилна триаголна пирамида. Која е апотемата за многуаголник и пирамида? Апотема на правилна четириаголна пирамида. Својство на основната висина на пирамидата

Пирамидата е просторен полиедар, или полиедар, кој се наоѓа во геометриските проблеми. Главните својства на оваа бројка се неговиот волумен и површината, кои се пресметуваат од знаењето за било кои две негови линеарни карактеристики. Една од овие карактеристики е апотемата на пирамидата. Тоа ќе се дискутира во статијата.

фигура пирамида

Пред да ја дадеме дефиницијата за апотемата на пирамидата, да се запознаеме со самата фигура. Пирамидата е полиедар, кој е формиран од една n-гонална основа и n триаголници кои ја сочинуваат страничната површина на фигурата.

Секоја пирамида има теме - точката на спојување на сите триаголници. Нормалната извлечена од ова теме до основата се нарекува висина. Ако висината ја пресекува основата во геометрискиот центар, тогаш фигурата се нарекува права линија. Права пирамида со рамностран основа се нарекува правилна пирамида. На сликата е прикажана пирамида со хексагонална основа, која се гледа од страната на лицето и работ.

Апотема на десната пирамида

Се нарекува и апотема. Се подразбира како нормално извлечено од врвот на пирамидата до страната на основата на фигурата. По дефиниција, оваа нормална одговара на висината на триаголникот што ја формира страничната страна на пирамидата.

Бидејќи разгледуваме правилна пирамида со n-гонална основа, тогаш сите n апотеми за неа ќе бидат исти, бидејќи такви се рамнокракните триаголници на страничната површина на фигурата. Забележете дека идентичните апотеми се својство на правилна пирамида. За фигура од општ тип (косо со неправилен n-аголник), сите n апотеми ќе бидат различни.

Друго својство на апотемата на правилна пирамида е тоа што е истовремено висината, средината и симетралата на соодветниот триаголник. Тоа значи дека таа го дели на два идентични правоаголни триаголници.

и формули за определување на нејзината апотема

Во секоја правилна пирамида, важни линеарни карактеристики се должината на страната на нејзината основа, страничниот раб b, висината h и апотемата h b. Овие количини се поврзани една со друга со соодветните формули, кои може да се добијат со цртање пирамида и со разгледување на потребните правоаголни триаголници.

Правилната триаголна пирамида се состои од 4 триаголни лица, а едната од нив (основата) мора да биде рамностран. Останатите се рамнокраки во општ случај. Апотемата на триаголна пирамида може да се одреди во однос на други количини со помош на следните формули:

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);

h b \u003d √ (a 2 / 12 + h 2)

Првиот од овие изрази важи за пирамида со која било правилна основа. Вториот израз е карактеристичен само за триаголна пирамида. Тоа покажува дека апотемата е секогаш поголема од висината на фигурата.

Апотемата на пирамидата не треба да се меша со онаа на полиедарот. Во вториот случај, апотемата е нормална отсечка повлечена на страната на полиедарот од неговиот центар. На пример, апотемата на рамностран триаголник е √3/6*a.

Апотема задача

Нека биде дадена правилна пирамида со триаголник во основата. Неопходно е да се пресмета нејзината апотема ако се знае дека површината на овој триаголник е 34 cm 2, а самата пирамида се состои од 4 идентични лица.

Во согласност со состојбата на проблемот, имаме работа со тетраедар кој се состои од рамностран триаголници. Формулата за површината на едно лице е:

Од каде ја добиваме должината на страната a:

За да ја одредиме апотемата h b, ја користиме формулата што го содржи страничниот раб b. Во случајот што се разгледува, неговата должина е еднаква на должината на основата, имаме:

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4) \u003d √ 3 / 2 * a

Заменувајќи ја вредноста од a преку S, ја добиваме конечната формула:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Добивме едноставна формула во која апотемата на пирамидата зависи само од областа на нејзината основа. Ако ја замениме вредноста S од условот на задачата, се добива одговорот: h b ≈ 7,674 cm.

Дефиниција. Странично лице- ова е триаголник во кој еден агол лежи на врвот на пирамидата, а спротивната страна од него се совпаѓа со страната на основата (многуаголник).

Дефиниција. Странични ребрасе заедничките страни на страничните лица. Пирамидата има толку рабови колку што има агли во многуаголникот.

Дефиниција. висина на пирамидатае нормална спуштена од врвот до основата на пирамидата.

Дефиниција. Апотема- ова е нормално на страничното лице на пирамидата, спуштено од врвот на пирамидата до страната на основата.

Дефиниција. Дијагонален пресек- ова е дел од пирамидата со рамнина што минува низ врвот на пирамидата и дијагоналата на основата.

Дефиниција. Правилна пирамида- Ова е пирамида во која основата е правилен многуаголник, а висината се спушта до центарот на основата.

Волумен и површина на пирамидата

Формула. волумен на пирамидатапреку основната површина и висина:

пирамидални својства

Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш може да се ограничи круг околу основата на пирамидата, а центарот на основата се совпаѓа со центарот на кругот. Исто така, нормалната испуштена од врвот поминува низ центарот на основата (кругот).

Ако сите странични ребра се еднакви, тогаш тие се наклонети кон основната рамнина под исти агли.

Страничните ребра се еднакви кога формираат еднакви агли со основната рамнина или ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.

Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под еден агол, тогаш во основата на пирамидата може да се впише круг, а врвот на пирамидата се проектира во нејзиниот центар.

Ако страничните лица се наклонети кон основната рамнина под еден агол, тогаш апотемите на страничните лица се еднакви.

Својства на правилна пирамида

1. Врвот на пирамидата е подеднакво оддалечен од сите агли на основата.

2. Сите странични рабови се еднакви.

3. Сите странични ребра се наклонети под исти агли на основата.

4. Апотемите на сите странични лица се еднакви.

5. Површините на сите странични лица се еднакви.

6. Сите лица имаат исти диедрални (рамни) агли.

7. Околу пирамидата може да се опише сфера. Центарот на опишаната сфера ќе биде пресечната точка на перпендикуларите што минуваат низ средината на рабовите.

8. Во пирамида може да се впише сфера. Центарот на впишаната сфера ќе биде пресечната точка на симетралите што произлегуваат од аголот помеѓу работ и основата.

9. Ако центарот на впишаната сфера се совпаѓа со центарот на опишаната сфера, тогаш збирот на рамните агли на врвот е еднаков на π или обратно, еден агол е еднаков на π / n, каде што n е бројот на аглите во основата на пирамидата.

Врската на пирамидата со сферата

Може да се опише сфера околу пирамидата кога во основата на пирамидата лежи полиедар околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат нормално низ средните точки на страничните рабови на пирамидата.

Сфера секогаш може да се опише околу која било триаголна или правилна пирамида.

Сфера може да се впише во пирамида ако симетралните рамнини на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во една точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе биде центар на сферата.

Врската на пирамидата со конусот

Конусот се нарекува впишан во пирамида ако нивните темиња се совпаѓаат и основата на конусот е впишана во основата на пирамидата.

Конус може да се впише во пирамида ако апотемите на пирамидата се еднакви.

Се вели дека конусот е опкружен околу пирамидата ако нивните темиња се совпаѓаат и основата на конусот е опкружена околу основата на пирамидата.

Конус може да се опише околу пирамидата ако сите странични рабови на пирамидата се еднакви еден со друг.

Поврзување на пирамида со цилиндар

Се вели дека пирамидата е впишана во цилиндар ако врвот на пирамидата лежи на една основа од цилиндерот, а основата на пирамидата е впишана во друга основа на цилиндерот.

Цилиндар може да се ограничи околу пирамидата ако кругот може да се ограничи околу основата на пирамидата.

Тетраедарот има четири лица и четири темиња и шест рабови, каде што било кои два рабови немаат заеднички темиња, но не се допираат.

Секое теме се состои од три лица и рабови кои се формираат триедрален агол.

Се вика отсечката што го поврзува темето на тетраедарот со центарот на спротивната страна медијана на тетраедарот(ГМ).

Бимедијансе нарекува отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните рабови што не се допираат (KL).

Сите бимедијани и медијани на тетраедар се сечат во една точка (S). Во овој случај, бимедијаните се поделени на половина, а медијаните во сооднос 3: 1 почнувајќи од врвот.

Дефиниција. Акутна аголна пирамидае пирамида во која апотемата е повеќе од половина од должината на страната на основата.

Дефиниција. тапа пирамидае пирамида во која апотемата е помала од половина од должината на страната на основата.

Дефиниција. редовен тетраедарТетраедар чии четири лица се рамностран триаголник. Тој е еден од петте правилни полигони. Во правилен тетраедар, сите диедрални агли (помеѓу лица) и триедарски агли (на теме) се еднакви.

Дефиниција. Правоаголен тетраедарсе нарекува тетраедар кој има прав агол меѓу три рабови на темето (рабовите се нормални). Се формираат три лица правоаголен триедарен агола лицата се правоаголни триаголници, а основата е произволен триаголник. Апотемата на кое било лице е еднаква на половина од страната на основата на која паѓа апотемата.

Дефиниција. Изохедрален тетраедарСе нарекува тетраедар во кој страничните страни се еднакви една со друга, а основата е правилен триаголник. Лицата на таков тетраедар се рамнокрак триаголници.

Дефиниција. Ортоцентричен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој во една точка се сечат сите висини (нормални) кои се спуштени од врвот до спротивната страна.

Дефиниција. ѕвездена пирамидаПолиедар чија основа е ѕвезда се нарекува.

Теоретски материјали и формули, видете го поглавјето „Регуларна пирамида“.

Задача

Решение.

Бидејќи пирамидата е точна, размислете за следново:

• Висината на пирамидата е проектирана на центарот на основата
• Центарот на основата на правилна пирамида според состојбата на проблемот е рамностран триаголник
• Центарот на рамностран триаголник е и центарот на впишаниот круг и на опкружениот круг.
• Висината на пирамидата формира прав агол со рамнината на основата

Бидејќи апотемата на правилна пирамида формира правоаголен триаголник заедно со висината на пирамидата, ја користиме синусната теорема за да ја најдеме висината. Дополнително, да земеме предвид:

• Првата катета од правоаголниот триаголник што се разгледува е висината, втората катета е радиусот на впишаната кружница (во правилен триаголник, центарот е и центарот на впишаните и на опфатените кругови), хипотенузата е апотема на пирамида
• Третиот агол на правоаголниот триаголник е 30 степени (збирот на аглите на триаголникот е 180 степени, аголот од 60 степени е даден со условот, вториот агол е прав агол според својствата на пирамидата , третиот е 180-90-60 = 30)
• синусот од 30 степени е 1/2
• синусот од 60 степени е еднаков на квадратниот корен од три
• синусот од 90 степени е 1

Во основата на пирамидата лежи правилен триаголник, чија површина може да се најде со формулата:
S на рамностран триаголник = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Сега пронајдете го волуменот на пирамидата:
V = 1/3 Ш
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 cm 3.

Одговори: 24 cm3.

Задача

Решение .

Бидејќи пирамидата е правилна, тогаш во нејзината основа лежи правилен четириаголник - квадрат. Покрај тоа, висината на пирамидата е проектирана во центарот на плоштадот. Така, кракот на правоаголен триаголник, кој е формиран од апотемата на пирамидата, висината и отсечката што ги поврзува е еднаква на половина од должината на основата на правилна четириаголна пирамида.

Од каде, според Питагоровата теорема, должината на апотемата ќе се најде од равенката:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Одговор: 25 см

апотема апотема

(од грчкиот apotíthēmi - одложувам), 1) отсечка (како и неговата должина) на нормална А, падна од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилната пирамида, апотема е висината Астраничен раб.

АПОФЕМА (грчка апотема - нешто одложено),
1) отсечка (како и нејзината должина) на нормалната a, падната од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни.
2) Во редовна пирамида, апотема е висината на страничното лице.

енциклопедиски речник. 2009 .

Погледнете што е „апотема“ во другите речници:

Видете АПОТЕМ. Речник на странски зборови вклучен во рускиот јазик. Чудинов А.Н., 1910. АПОТЕМА, види АПОТЕМА. Речник на странски зборови вклучен во рускиот јазик. Павленков Ф., 1907 ... Речник на странски зборови на рускиот јазик

- (од грчки apotithemi одлагам) ..1) отсечка (како и неговата должина) на нормалната a, спуштена од центарот на правилен многуаголник до која било од неговите страни2)] Во правилна пирамида, апотема е висината на страничното лице ... Голем енциклопедиски речник

Постое., број на синоними: 3 апотема (2) должина (10) нормална (4) Речник ... Речник на синоними

АПОТЕМА- (1) должината на нормалната спуштена од центарот на кругот опкружен околу правилен многуаголник до која било од неговите страни; (2) висината на страничната страна на правилната пирамида; (3) висината на трапезот, што е страничното лице на правилна скратена ... ... Голема политехничка енциклопедија

- (од грчкиот apotithçmi ставив настрана) 1) должината на нормалната спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни (сл. 1); 2) во правилна пирамида A. висината a на неговата странична страна (сл. 2). Ориз. 1 до…… Голема советска енциклопедија

- (од грчкиот apotfthemi I одлагам) 1) отсечка (како и нејзината должина) на нормалната a, спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилна пирамида А., висината a на страничното лице (види слика). Кон чл. Апотема... Голем енциклопедиски политехнички речник

Должината на нормалната спуштена од центарот на правилен многуаголник на една од неговите страни; апотемата е еднаква на радиусот на кругот впишан во дадениот многуаголник. А. ја нарекувале и наклонетата страна на конусот ... Енциклопедиски речник Ф.А. Брокхаус и И.А. Ефрон

- (од грчкиот апотитеми јас одложувам), 1) отсечка (како и неговата должина) на нормалната a, спуштена од центарот на правилен многуаголник на која било од неговите страни. 2) Во правилна пирамида A. висината a на страничното лице ... Природна наука. енциклопедиски речник

Апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема (

• апотема- висината на страничното лице на правилна пирамида, која е извлечена од нејзиниот врв (покрај тоа, апотема е должината на нормалната, која се спушта од средината на правилен многуаголник до 1 од неговите страни);
• странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триаголници кои се спојуваат на врвот;
• странични ребра ( AS , БС , CS , Д.С. ) - заеднички страни на страничните лица;
• врвот на пирамидата (v. S) - точка што ги поврзува страничните рабови и која не лежи во рамнината на основата;
• висина ( ПА ) - отсечка од нормалната, која е повлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на таков сегмент ќе бидат врвот на пирамидата и основата на нормата);
• дијагонален пресек на пирамида- дел од пирамидата, кој минува низ врвот и дијагоналата на основата;
• база (А БЕ ЦЕ ДЕ) е многуаголник на кој не му припаѓа врвот на пирамидата.

пирамидални својства.

1. Кога сите странични рабови се со иста големина, тогаш:

• во близина на основата на пирамидата лесно е да се опише круг, додека врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• страничните ребра формираат еднакви агли со основната рамнина;
• покрај тоа, точно е и обратното, т.е. кога страничните рабови формираат еднакви агли со основната рамнина, или кога може да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг, тогаш сите странични рабови на пирамидата имаат со иста големина.

2. Кога страничните лица имаат агол на наклон кон рамнината на основата со иста вредност, тогаш:

• во близина на основата на пирамидата, лесно е да се опише круг, додека врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• висините на страничните лица се со еднаква должина;
• површината на страничната површина е ½ производ од периметарот на основата и висината на страничното лице.

3. Сфера може да се опише во близина на пирамидата ако основата на пирамидата е многуаголник околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат низ средните точки на рабовите на пирамидата нормално на нив. Од оваа теорема заклучуваме дека сферата може да се опише и околу која било триаголна и околу која било правилна пирамида.

4. Сфера може да се впише во пирамида ако рамнините на симетралите на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во првата точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе стане центар на сферата.

Наједноставната пирамида.

Според бројот на аглите на основата на пирамидата, тие се поделени на триаголни, четириаголни итн.

Пирамидата ќе триаголен, четириаголна, и така натаму, кога основата на пирамидата е триаголник, четириаголник итн. Триаголна пирамида е тетраедар - тетраедар. Четириаголен - петаедар и така натаму.