Wat een apothem voor een regelmatige driehoekige piramide. Wat is de apothem voor polygoon en piramide? Apothema van een regelmatige vierhoekige piramide. Piramide Hoogte Basis Eigenschap

Een piramide is een ruimtelijk veelvlak, of een veelvlak, dat voorkomt in geometrische problemen. De belangrijkste eigenschappen van deze figuur zijn het volume en de oppervlakte, die worden berekend op basis van de kennis van twee van de lineaire kenmerken. Een van deze kenmerken is de apothem van de piramide. Het zal in het artikel worden besproken.

figuur piramide

Voordat we de definitie van de apothem van de piramide geven, laten we de figuur zelf leren kennen. De piramide is een veelvlak, dat wordt gevormd door een n-hoekige basis en n driehoeken die het zijvlak van de figuur vormen.

Elke piramide heeft een hoekpunt - het knooppunt van alle driehoeken. De loodlijn getrokken van dit hoekpunt naar de basis wordt de hoogte genoemd. Als de hoogte de basis in het geometrische midden snijdt, wordt de figuur een rechte lijn genoemd. Een rechte piramide met een gelijkzijdige basis wordt een regelmatige piramide genoemd. De figuur toont een piramide met een zeshoekige basis, gezien vanaf de zijkant van het gezicht en de rand.

Apothema van de juiste piramide

Het wordt ook wel apotema genoemd. Het wordt opgevat als een loodlijn getrokken van de top van de piramide naar de zijkant van de basis van de figuur. Deze loodlijn komt per definitie overeen met de hoogte van de driehoek die het zijvlak van de piramide vormt.

Aangezien we een regelmatige piramide beschouwen met een n-gonale basis, zullen alle n apothems daarvoor hetzelfde zijn, aangezien dit de gelijkbenige driehoeken zijn van het manteloppervlak van de figuur. Merk op dat identieke apothema's een eigenschap zijn van een gewone piramide. Voor een figuur van een algemeen type (schuin met een onregelmatige n-hoek) zullen alle n apothems verschillend zijn.

Een andere eigenschap van de apothem van een regelmatige piramide is dat het tegelijkertijd de hoogte, mediaan en bissectrice is van de overeenkomstige driehoek. Dit betekent dat ze het verdeelt in twee identieke rechthoekige driehoeken.

en formules voor het bepalen van de apothem

In elke reguliere piramide zijn belangrijke lineaire kenmerken de lengte van de zijkant van de basis, de zijrand b, de hoogte h en de apothem h b. Deze grootheden zijn aan elkaar gerelateerd door de overeenkomstige formules, die verkregen kunnen worden door een piramide te tekenen en de nodige rechthoekige driehoeken te beschouwen.

Een regelmatige driehoekige piramide bestaat uit 4 driehoekige vlakken, en een daarvan (de basis) moet gelijkzijdig zijn. De rest is in het algemeen gelijkbenig. De apothem van een driehoekige piramide kan worden bepaald in termen van andere grootheden met behulp van de volgende formules:

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);

h b \u003d √ (a 2 / 12 + h 2)

De eerste van deze uitdrukkingen is geldig voor een piramide met een correcte basis. De tweede uitdrukking is alleen kenmerkend voor een driehoekige piramide. Het laat zien dat de apothem altijd groter is dan de hoogte van de figuur.

De apothem van een piramide moet niet worden verward met die van een veelvlak. In het laatste geval is de apothema een loodrecht segment dat vanuit het midden naar de zijkant van het veelvlak wordt getrokken. De apothem van een gelijkzijdige driehoek is bijvoorbeeld √3/6*a.

Apothema-taak

Stel een regelmatige piramide met een driehoek aan de basis. Het is noodzakelijk om zijn apothem te berekenen als bekend is dat de oppervlakte van deze driehoek 34 cm 2 is en de piramide zelf uit 4 identieke vlakken bestaat.

In overeenstemming met de toestand van het probleem hebben we te maken met een tetraëder bestaande uit gelijkzijdige driehoeken. De formule voor de oppervlakte van één gezicht is:

Waaruit halen we de lengte van zijde a:

Om het apothema h b te bepalen, gebruiken we de formule die de zijrand b bevat. In het onderhavige geval is de lengte gelijk aan de lengte van de basis, we hebben:

h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4) \u003d √ 3 / 2 * a

Als we de waarde van a tot en met S vervangen, krijgen we de uiteindelijke formule:

h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

We hebben een eenvoudige formule verkregen waarin de apothem van een piramide alleen afhangt van de oppervlakte van de basis. Als we de waarde S vervangen door de toestand van het probleem, krijgen we het antwoord: h b ≈ 7,674 cm.

Definitie. Zijkant- dit is een driehoek waarvan één hoek aan de bovenkant van de piramide ligt en de tegenoverliggende zijde ervan samenvalt met de zijde van de basis (polygoon).

Definitie. Zijribben zijn de gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken. Een piramide heeft evenveel randen als er hoeken zijn in een veelhoek.

Definitie. piramide hoogte is een loodlijn die van de top naar de basis van de piramide valt.

Definitie. Apothema- dit is de loodlijn van het zijvlak van de piramide, verlaagd van de top van de piramide naar de zijkant van de basis.

Definitie. Diagonaal gedeelte- dit is een doorsnede van de piramide door een vlak dat door de top van de piramide en de diagonaal van de basis gaat.

Definitie. Juiste piramide- Dit is een piramide waarvan de basis een regelmatige veelhoek is en de hoogte afdaalt naar het midden van de basis.

Volume en oppervlakte van de piramide

Formule. piramide volume door basisoppervlak en hoogte:

piramide eigenschappen

Als alle zijranden gelijk zijn, kan een cirkel om de basis van de piramide worden beschreven en valt het middelpunt van de basis samen met het middelpunt van de cirkel. Ook gaat de loodlijn die van boven is gevallen door het midden van de basis (cirkel).

Als alle zijribben gelijk zijn, hellen ze onder dezelfde hoeken naar het basisvlak.

De laterale ribben zijn gelijk als ze gelijke hoeken vormen met het basisvlak, of als er een cirkel beschreven kan worden rond de basis van de piramide.

Als de zijvlakken onder een hoek naar het vlak van de basis hellen, kan een cirkel in de basis van de piramide worden ingeschreven en wordt de bovenkant van de piramide in het midden geprojecteerd.

Als de zijvlakken onder één hoek naar het basisvlak hellen, zijn de apothems van de zijvlakken gelijk.

Eigenschappen van een gewone piramide

1. De top van de piramide bevindt zich op gelijke afstand van alle hoeken van de basis.

2. Alle zijranden zijn gelijk.

3. Alle zijribben hellen onder dezelfde hoek ten opzichte van de basis.

4. Apothema's van alle zijvlakken zijn gelijk.

5. De oppervlakken van alle zijvlakken zijn gelijk.

6. Alle vlakken hebben dezelfde dihedrale (platte) hoeken.

7. Rondom de piramide kan een bol beschreven worden. Het middelpunt van de beschreven bol zal het snijpunt zijn van de loodlijnen die door het midden van de randen gaan.

8. Een bol kan in een piramide worden ingeschreven. Het middelpunt van de ingeschreven bol zal het snijpunt zijn van de deellijnen die voortkomen uit de hoek tussen de rand en de basis.

9. Als het middelpunt van de ingeschreven bol samenvalt met het middelpunt van de omgeschreven bol, dan is de som van de platte hoeken aan de top gelijk aan π of vice versa, één hoek is gelijk aan π / n, waarbij n het getal is hoeken aan de basis van de piramide.

De verbinding van de piramide met de bol

Een bol kan rond de piramide worden beschreven als aan de basis van de piramide een veelvlak ligt waaromheen een cirkel kan worden beschreven (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Het middelpunt van de bol zal het snijpunt zijn van vlakken die loodrecht door de middelpunten van de zijranden van de piramide gaan.

Een bol kan altijd beschreven worden rond elke driehoekige of regelmatige piramide.

Een bol kan in een piramide worden ingeschreven als de bissectricevlakken van de interne tweevlakshoeken van de piramide elkaar op één punt snijden (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Dit punt wordt het middelpunt van de bol.

De verbinding van de piramide met de kegel

Een kegel wordt ingeschreven in een piramide genoemd als hun hoekpunten samenvallen en de basis van de kegel is ingeschreven in de basis van de piramide.

Een kegel kan in een piramide worden ingeschreven als de apothems van de piramide gelijk zijn.

Men zegt dat een kegel rond een piramide is omschreven als hun hoekpunten samenvallen en de basis van de kegel rond de basis van de piramide is beschreven.

Een kegel rond een piramide is te beschrijven als alle zijranden van de piramide gelijk aan elkaar zijn.

Verbinding van een piramide met een cilinder

Een piramide is ingeschreven in een cilinder als de bovenkant van de piramide op een basis van de cilinder ligt en de basis van de piramide is ingeschreven in een andere basis van de cilinder.

Een cilinder kan rond een piramide worden beschreven als een cirkel rond de basis van de piramide kan worden beschreven.

Een tetraëder heeft vier vlakken en vier hoekpunten en zes randen, waarbij elke twee randen geen gemeenschappelijke hoekpunten hebben maar elkaar niet raken.

Elk hoekpunt bestaat uit drie vlakken en randen die zich vormen drievlaks hoek.

Het segment dat de top van de tetraëder verbindt met het midden van het tegenoverliggende vlak wordt genoemd mediaan van de tetraëder(GM).

Bimediaan wordt een segment genoemd dat de middelpunten van tegenoverliggende randen die elkaar niet raken (KL) verbindt.

Alle bimedianen en medianen van een tetraëder snijden elkaar in één punt (S). In dit geval zijn de bimedianen in tweeën gedeeld en de medianen in een verhouding van 3: 1 vanaf de bovenkant.

Definitie. Acute gehoekte piramide is een piramide waarin de apothem meer dan de helft van de lengte van de zijkant van de basis is.

Definitie. stompe piramide is een piramide waarin de apothem minder dan de helft van de lengte van de zijkant van de basis is.

Definitie. regelmatige tetraëder Een tetraëder waarvan de vier vlakken gelijkzijdige driehoeken zijn. Het is een van de vijf regelmatige veelhoeken. In een regelmatige tetraëder zijn alle tweevlakshoeken (tussen vlakken) en drievlakshoeken (bij een hoekpunt) gelijk.

Definitie. Rechthoekige tetraëder een tetraëder wordt genoemd die een rechte hoek heeft tussen drie randen bij de top (de randen staan ​​loodrecht). Er vormen zich drie gezichten rechthoekige drievlakshoek en de vlakken zijn rechthoekige driehoeken, en de basis is een willekeurige driehoek. De apothem van elk vlak is gelijk aan de helft van de zijde van de basis waarop de apothem valt.

Definitie. Isoëdrische tetraëder Een tetraëder wordt genoemd waarin de zijvlakken aan elkaar gelijk zijn en de basis een regelmatige driehoek is. De vlakken van zo'n tetraëder zijn gelijkbenige driehoeken.

Definitie. Orthocentrische tetraëder een tetraëder wordt genoemd waarin alle hoogten (loodlijnen) die van de bovenkant naar het tegenoverliggende vlak worden verlaagd, elkaar op één punt snijden.

Definitie. ster piramide Een veelvlak waarvan de basis een ster is, wordt genoemd.

Theoretische materialen en formules, zie het hoofdstuk "Regelmatige Piramide".

Taak

Oplossing.

Aangezien de piramide correct is, overweeg dan het volgende:

• De hoogte van de piramide wordt geprojecteerd op het midden van de basis
• Het middelpunt van de basis van een regelmatige piramide volgens de toestand van het probleem is een gelijkzijdige driehoek
• Het middelpunt van een gelijkzijdige driehoek is zowel het middelpunt van de ingeschreven cirkel als van de omgeschreven cirkel.
• De hoogte van de piramide vormt een rechte hoek met het vlak van de basis

Aangezien de apothem van een regelmatige piramide samen met de hoogte van de piramide een rechthoekige driehoek vormt, gebruiken we de sinusstelling om de hoogte te vinden. Laten we daarnaast rekening houden met:

• Het eerste been van de beschouwde rechthoekige driehoek is de hoogte, het tweede been is de straal van de ingeschreven cirkel (in een regelmatige driehoek is het middelpunt zowel het middelpunt van de ingeschreven als de omgeschreven cirkel), de schuine zijde is de apothem van de piramide
• De derde hoek van een rechthoekige driehoek is 30 graden (de som van de hoeken van een driehoek is 180 graden, de hoek van 60 graden wordt gegeven door de voorwaarde, de tweede hoek is een rechte hoek volgens de eigenschappen van de piramide , de derde is 180-90-60 = 30)
• de sinus van 30 graden is 1/2
• de sinus van 60 graden is gelijk aan de vierkantswortel van drie
• de sinus van 90 graden is 1

Aan de basis van de piramide ligt een regelmatige driehoek, waarvan de oppervlakte kan worden gevonden met de formule:
S van een gelijkzijdige driehoek = 3√3 r 2 .
S = 3√3 2 2 .
S = 12√3.

Zoek nu het volume van de piramide:
V = 1/3 Sh
V = 1/3 * 12√3 * 2√3
V \u003d 24 cm3.

Antwoord: 24 cm3.

Taak

Oplossing .

Omdat de piramide regelmatig is, ligt aan de basis een regelmatige vierhoek - een vierkant. Bovendien wordt de hoogte van de piramide in het midden van het vierkant geprojecteerd. Dus het been van een rechthoekige driehoek, die wordt gevormd door de top van de piramide, de hoogte en het segment dat ze verbindt, is gelijk aan de helft van de lengte van de basis van een regelmatige vierhoekige piramide.

Van waar, volgens de stelling van Pythagoras, de lengte van de apothema zal worden gevonden uit de vergelijking:

72 + 242 = x2
x2 = 625
x=25

Antwoord: 25 cm

apothem apothem

(van het Griekse apotíthēmi - ik stel uit), 1) een segment (evenals de lengte) van een loodlijn A, neergezet vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van de zijden. 2) In de juiste piramide is de apothema de hoogte A zijkant.

APOPHEMA (Grieks apothema - iets uitgesteld),
1) een segment (evenals zijn lengte) van de loodlijn a, vallend vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden.
2) In een gewone piramide is apothem de hoogte van het zijvlak.

encyclopedisch woordenboek. 2009 .

Zie wat "apothem" is in andere woordenboeken:

Zie APOTEM. Woordenboek van vreemde woorden in de russische taal. Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA, zie APOTHEMA. Woordenboek van vreemde woorden in de russische taal. Pavlenkov F., 1907 ... Woordenboek van vreemde woorden van de russische taal

- (van het Griekse apotithemi stel ik uit) ..1) een segment (evenals zijn lengte) van de loodlijn a, neergelaten vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden2)] In een regelmatige piramide is apothem de hoogte van de zijkant... Groot encyclopedisch woordenboek

Exist., aantal synoniemen: 3 apotema (2) lengte (10) loodrecht (4) Woordenboek ... Synoniem woordenboek

APOTHEM- (1) de lengte van de loodlijn die valt vanaf het middelpunt van een cirkel omgeschreven rond een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden; (2) de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide; (3) de hoogte van de trapezium, die het zijvlak is van een regelmatig afgeknotte ... ... Grote Polytechnische Encyclopedie

- (van het Griekse apotithçmi dat ik terzijde heb geschoven) 1) de lengte van de loodlijn die vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden valt (Fig. 1); 2) in een regelmatige piramide A. de hoogte a van zijn zijvlak (Fig. 2). Rijst. 1 tot … … Grote Sovjet-encyclopedie

- (van het Griekse apotfthemi stel ik uit) 1) een segment (evenals zijn lengte) van de loodlijn a, neergelaten vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden. 2) In een regelmatige piramide A. de hoogte a van het zijvlak (zie figuur). Naar kunst. Apothema ... Groot encyclopedisch polytechnisch woordenboek

De lengte van een loodlijn die vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden valt; de apothem is gelijk aan de straal van de cirkel ingeschreven in de gegeven polygoon. A. werd ook wel de schuine zijde van de kegel genoemd... Encyclopedisch woordenboek F.A. Brockhaus en I.A. Efron

- (van het Griekse apotithemi stel ik uit), 1) een segment (evenals zijn lengte) van de loodlijn a, neergelaten vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar een van zijn zijden. 2) In een regelmatige piramide A. de hoogte a van het zijvlak ... Natuurwetenschap. encyclopedisch woordenboek

apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem, apothem (

• apothema- de hoogte van het zijvlak van een regelmatige piramide, die vanaf de bovenkant wordt getrokken (bovendien is de apothem de lengte van de loodlijn, die vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar 1 van zijn zijkanten wordt verlaagd);
• zij gezichten (ASB, BSC, CSD, DSA) - driehoeken die bovenaan samenkomen;
• zijribben ( ALS , BS , CS , DS ) - gemeenschappelijke zijden van de zijvlakken;
• bovenkant van de piramide (v. S) - een punt dat de zijranden verbindt en niet in het vlak van de basis ligt;
• hoogte ( DUS ) - een segment van de loodlijn, dat door de bovenkant van de piramide naar het vlak van zijn basis wordt getrokken (de uiteinden van een dergelijk segment zijn de bovenkant van de piramide en de basis van de loodlijn);
• diagonale doorsnede van een piramide- sectie van de piramide, die door de bovenkant en de diagonaal van de basis gaat;
• baseren (ABCD) is een veelhoek waartoe de top van de piramide niet behoort.

piramide eigenschappen.

1. Als alle zijranden even groot zijn, dan:

• nabij de basis van de piramide is het gemakkelijk om een ​​cirkel te beschrijven, terwijl de top van de piramide in het midden van deze cirkel zal worden geprojecteerd;
• zijribben vormen gelijke hoeken met het basisvlak;
• bovendien is het omgekeerde ook waar, d.w.z. wanneer de zijranden gelijke hoeken vormen met het basisvlak, of wanneer een cirkel nabij de basis van de piramide kan worden beschreven en de top van de piramide in het midden van deze cirkel wordt geprojecteerd, dan hebben alle zijranden van de piramide dezelfde grootte.

2. Wanneer de zijvlakken een hellingshoek hebben met het vlak van de basis van dezelfde waarde, dan:

• nabij de basis van de piramide is het gemakkelijk om een ​​cirkel te beschrijven, terwijl de top van de piramide in het midden van deze cirkel zal worden geprojecteerd;
• de hoogten van de zijvlakken zijn even lang;
• het oppervlak van het zijvlak is ½ het product van de omtrek van de basis en de hoogte van het zijvlak.

3. Een bol kan beschreven worden nabij de piramide als de basis van de piramide een veelhoek is waaromheen een cirkel beschreven kan worden (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Het middelpunt van de bol zal het snijpunt zijn van de vlakken die door de middelpunten van de randen van de piramide loodrecht daarop gaan. Uit deze stelling concluderen we dat een bol zowel om een ​​willekeurige driehoek als om een ​​regelmatige piramide beschreven kan worden.

4. Een bol kan in een piramide worden ingeschreven als de bissectricevlakken van de interne tweevlakshoeken van de piramide elkaar snijden op het eerste punt (een noodzakelijke en voldoende voorwaarde). Dit punt wordt het middelpunt van de bol.

De eenvoudigste piramide.

Volgens het aantal hoeken van de basis van de piramide zijn ze verdeeld in driehoekig, vierhoekig, enzovoort.

De piramide zal driehoekig, vierhoekig, enzovoort, wanneer de basis van de piramide een driehoek, een vierhoek, enzovoort is. Een driehoekige piramide is een tetraëder - een tetraëder. Vierhoekig - vijfvlak enzovoort.